어떠한 환경이고 엑티비티의 구성이 어떻게 된 것에 대한 정보가 필요합니다..

일반적으로 멀티태스킹을 구현하려면 화면이 lost 되었다가 다시 실행될때 잃어버린 정보를 리스타트 해줘야 합니다.

엑티비티의 pause() 와 resume() 메서드를 활용해보세요..

메니페스트 상에 별다른 launchMode 플래그가 설정되어 있지 않다면, home 키를 누르시는 경우 Activity 의 onPause / onStop 이 호출 되고. 제 실행 시, onStart / onResume 이 호출됩니다. 아마, 어플 상태 정보를 초기화하는 코드가 onStart 단에 작성되어 있어서, 문제가 발생하는게 아닌가 싶네요. http://developer.android.com/reference/android/app/Activity.html#ActivityLifecycle 를 참고하시면 좋을 듯 합니다.

 @Override
 public void onPause() {
  super.onPause();
 }
 @Override
 public void onResume() {
  super.onResume();
 }
우선, 혹시 안해주셨다면 프로그램에 이 코드를 명시해 주시고요..

홈화면으로 나간 이후, 메모리가 모자라면, 안드로이드OS가 슬립된 어플에서 쓰던 메모리를 해제해 버려서, 복귀 시 처음부터 재실행되도록 하는 경우가 있습니다.

이 경우를 해결하려면, onPause가 호출됐을 때, 현재 어플 상태를 파일 등으로 저장했다가 어플이 재실행될 때 pause 파일이 있으면 이것을 읽어들여 상태를 pause 전 상태로 맞춰주는 방법을 쓰면 될 것 같습니다. 물론 정상적으로 resume 됐다면 pause 파일은 그냥 삭제하도록 하고요.